歯と歯の隙間は空いてないけど歯の根本に隙間がある…埋められないの？

埋められません。
歯の根元の隙間のことをブラックトライアングルといい、歯列矯正では治せません。
歯肉移植やヒアルロン酸を注入して一時的に治ることもあります。